2017考研數學:函數極限的求解

　　在研究生考試中,凡是涉及到高等數學的數學考試,求極限的考察是必不可少的.其實,高等數學就是以極限開始,以極限結束,求極限貫穿高等數學的始終.當然,求極限主要分為兩種:函數的極限和數列的極限,在這里我們先談談函數的極限.對于函數的極限的考察,既可以單純地求解具體的函數的極限,又可以求解滿足某些性質的抽象的函數的極限.其題型,既可以是選擇題填空題,又可以是大題,甚至是大題中的證明題.總之,內容豐富多樣,讓同學們很是頭疼.不過,對于這一類題目,依舊有規律可循,如今年數學一的一個單純的求解極限的題目:“      .”
　　首先,我們來大致分析一下,這一題是填空題的第一題，是一個小題目，4分.其次,是具體的函數求極限.對這種類型,總的原則是用洛必達法則.在使用洛必達法則的時候,盡可能多地借助等價無窮小來簡化運算.上次我們復習了無窮小量,現在再來回顧一下:
　　無窮小量的定義：如果函數當或時的極限為零,那么稱函數為當或時的無窮小.等價無窮小的定義：設是在自變量的同一變化過程中的無窮小，且則：，稱與是等價無窮小，記作：.
以上是等價無窮小的定義.那么就考試范圍而言,我們需要掌握哪些基本的等價無窮小呢?在這里我給大家羅列幾個重要的等價無窮小:
時,;
對于這個表達式,我們可以這樣來記憶,等價無窮小把基本初等函數都串起來了,從左往右看,函數的類型分別為冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數.此外,還需要延伸兩個等價無窮小:.
介紹完等價無窮小后,再來學習羅比達法則吧:
1. 時的未定型
設(1)當時，函數和都趨于零；
(2)在點的某去心鄰域內，和都存在，且；
(3)存在(或為無窮大)，
則 .
2. 時的未定型
設(1)當時，函數和都趨于零；
(2)當時，和都存在，且；
(3)存在(或為無窮大)，
則 .
3. 僅當型或型才可以考慮用洛比達法則. 當然，對于，，，，型的未定型可以通過轉化成為型或型后，再考慮使用洛比達法則.
具備以上的知識,基本上這一題就能解決了,現在來寫一下它的解答過程:
這一題主要考察的是等價無窮小的使用,洛必達法則,另外還有變上限積分求導公式,屬于基礎題,同學們掌握這些基本知識,就能很好地完成本題了.

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